Question

已知△ABC的角A、B、C所對的邊分別是a，b，c，設向量

m

=（a，b），

n

=（sinB，sinA），

p

=（b-2，a-2），

m

⊥

p

．
（1）若邊長c=2，角C=

π

3

，求△ABC的面積；
（2）若

m

∥

n

，求邊a，b的值．

Answer 1

考點：正弦定理,平面向量共線（平行）的坐標表示

專題：解三角形

分析：（1）由

m

⊥

p

可得ab的式子，結合余弦定理可得ab得方程，解方程代入面積公式可得；
（2）由

m

∥

n

和正弦定理可得a=b，聯合ab=a+b可解得a，b的值．

解答： 解：（1）∵

m

=（a，b），

p

=（b-2，a-2），且

m

⊥

p

．
∴a（b-2）+b（a-2）=0，即a+b=ab，
由余弦定理可得2²=a²+b²-2abcos

π

3

，
代入數據化簡可得4=（a+b）²-3ab，
即（ab）²-3ab-4=0，解得ab=4，或ab=-1（舍去），
∴△ABC的面積S=

1

2

absinC=

3

（2）∵

m

∥

n

，∴asinA=bsinB，
由正弦定理可得a=b，即△ABC為等腰三角形，
結合ab=a+b可得a=b=2

點評：本題考查解三角形，設計正余弦定理和向量的平行與垂直，屬中檔題．