Question

【題目】已知函數 ，其中a為常數，
（1）若函數f（x）為奇函數，求a的值；
（2）若函數f（x）在（2，5）上有意義，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為f（x）為奇函數，所以f（﹣x）+f（x）=0對定義域內的任意x恒成立，

即 對定義域內的任意x恒成立，

故 ，即（a2﹣1）x2=0對定義域內的任意x恒成立，

故a2﹣1=0，即a=±1…（3分）

當a=1時， 為奇函數，滿足條件；

當a=﹣1時， 無意義，故不成立．

綜上，a=1

（2）解：若f（x）在（2，5）內恒有意義，則當x∈（2，5）時，有 恒成立，

因為x＞2，所以x+3＞0，從而ax﹣3＞0在x∈（2，5）上恒成立，

令g（x）=ax﹣3，則

當a=0時，不合題意

當a≠0時， ，解得 ，

所以，實數a的取值范圍是

【解析】（1）由奇函數的定義可求出a的值，經討論舍去a=﹣1。（2）根據題意可得到ax﹣3＞0在x∈（2，5）上恒成立，構造函數利用其x∈（2，5）上恒成立，得到不等式組解得a的取值范圍。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的奇偶性的相關知識，掌握偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．