Question

【題目】已知函數f（x）=（ + ）x3（a＞0且a≠1）．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）討論函數f（x）的奇偶性；
（3）求a的取值范圍，使f（x）＞0在定義域上恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=（ + ）x3（a＞0且a≠1）．

由于ax﹣1≠0，

則ax≠1，

∴x≠0，

故得函數f（x）的定義域為{x|x∈R，且x≠0}．

（2）對于定義域內任意的x，有

f（﹣x）=（ ）（﹣x）3= = = =f（x）

∴f（x）是偶函數．

（3）①當a＞1時，對x＞0，

∴ax＞1，即ax﹣1＞0，

∴ + ＞0．

又x＞0時，x3＞0，

f（x）= ＞0．

即 a＞1時，f（x）＞0．

由（2）知，f（x）是偶函數，即f（﹣x）=f（x），

則當x＜0時，﹣x＞0，有f（﹣x）=f（x）＞0成立．

綜上可知，當a＞1時，f（x）＞0在定義域上恒成立．

②當0＜a＜1時，f（x）=

當x＞0時，0＜ax＜1，此時f（x）＜0，不滿足題意；

當x＜0時，﹣x＞0，有f（﹣x）=f（x）＜0，也不滿足題意．

綜上可知，所求a的取值范圍是a＞1．

即a的取值范圍為（1，+∞）．

【解析】（1）根據分母不為零可求出函數的定義域即可。（2）由奇偶性的定義判斷即可。（3）對a分情況討論，再根據函數解析式的特點求出滿足題意的函數的取值范圍進而得到a的取值范圍
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的定義域及其求法和函數的奇偶性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零；偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．