Question

【題目】設是圓上的任意一點，是過點且與軸垂直的直線，是直線與軸的交點，點在直線上，且滿足.當點在圓上運動時，記點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）已知直線與曲線交于，兩點，點關于軸的對稱點為，證明：直線過定點.

Answer 1

【答案】（1）（2）見證明

【解析】

（1）點A在圓x2+y2＝16上運動，引起點Q的運動，可由4|BQ|＝3|BA|，得到點A和點Q坐標之間的關系式，由點A的坐標滿足圓的方程得到點Q坐標滿足的方程；（2）設M（x1，y1），N（x2，y2），則M′（﹣x1，y1），將直線方程與橢圓方程聯立，寫出韋達定理，求出直線M′N的方程，即可判斷出所過的定點.

（1）設，，因為，在直線上，

所以，.①

因為點在圓上運動，所以.②

將①式代入②式即得曲線的方程為.

（2）設，，則，

聯立，得，

所以，.

因為直線的斜率，

所以為.

令，得 ，

所以直線過定點.