Question

【題目】設橢圓的離心率是，A、B分別為橢圓的左頂點、上頂點，原點O到AB所在直線的距離為.

（I）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知直線與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的端點），，垂足為H，且，求證：直線恒過定點.

Answer 1

【答案】（I）（Ⅱ）見解析

【解析】

（I）直線AB的方程為：1，化為：bx﹣ay+ab＝0．原點O到AB所在直線的距離為，可得，化為：12（a2+b2）＝7a2b2，又，

a2＝b2+c2．聯立解出即可得出．

（Ⅱ）設M（x1，y1），N（x2，y2）．聯立，化為：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，△＞0，由AH⊥MN，垂足為H，且2，可得AM⊥AN．可得（x1+2）（x2+2）+y1y2＝（2+km）（x1+x2）+（1+k2）x1x2+4+m2＝0，把根與系數的關系代入化簡即可得出．

（I）直線AB的方程為：1，化為：bx﹣ay+ab＝0．

∵原點O到AB所在直線的距離為，∴，

化為：12（a2+b2）＝7a2b2，又，a2＝b2+c2．

聯立解得a＝2，b，c＝1．

∴橢圓C的方程為：1．

（Ⅱ）設M（x1，y1），N（x2，y2）．

聯立，化為：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，

△＝64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，（*）

∴x1+x2，x1x2，

∵AH⊥MN，垂足為H，且2，

∴AM⊥AN．

∴（x1+2）（x2+2）+y1y2＝（x1+2）（x2+2）+（kx1+m）（kx2+m）＝（2+km）（x1+x2）+（1+k2）x1x2+4+m2＝0，

∴﹣（2+km）（1+k2）4+m2，

∴4k2﹣16km+7m2＝0，

解得km，或m．滿足（*）

∴直線l方程為：y＝m（x+1），或y＝m．

直線y＝m（x+1）恒過定點A（﹣2，0），舍去．

直線y＝m恒過定點（，0），

∴直線l恒過定點（，0）．