Question

【題目】為調研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯考中，參考的文科生與理科生人數之比為，且成績分布在的范圍內，規定分數在50以上（含50）的作文被評為“優秀作文”，按文理科用分層抽樣的方法抽取400人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖，如圖所示.其中構成以2為公比的等比數列.

（1）求的值；

（2）填寫下面列聯表，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下認為“獲得優秀作文”與“學生的文理科”有關？

	文科生	理科生	合計
獲獎	6
不獲獎
合計			400

（3）將上述調查所得的頻率視為概率，現從全市參考學生中，任意抽取2名學生，記“獲得優秀作文”的學生人數為，求的分布列及數學期望.

附：，其中.

	.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

【答案】（1），，.（2）填表見解析；在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下，不能認為“獲得優秀作文”與“學生的文理科”有關（3）詳見解析

【解析】

（1）根據頻率分步直方圖和構成以2為公比的等比數列，即可得解；

（2）由頻率分步直方圖算出相應的頻數即可填寫列聯表，再用的計算公式運算即可；

（3）獲獎的概率為，隨機變量，再根據二項分布即可求出其分布列與期望.

解：（1）由頻率分布直方圖可知，，

因為構成以2為公比的等比數列，所以，解得，

所以，.

故，，.

（2）獲獎的人數為人，

因為參考的文科生與理科生人數之比為，所以400人中文科生的數量為，理科生的數量為.

由表可知，獲獎的文科生有6人，所以獲獎的理科生有人，不獲獎的文科生有人.

于是可以得到列聯表如下：

	文科生	理科生	合計
獲獎	6	14	20
不獲獎	74	306	380
合計	80	320	400

所以在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下，不能認為“獲得優秀作文”與“學生的文理科”有關.

（3）由（2）可知，獲獎的概率為，

的可能取值為0，1，2，

，

，

，

分布列如下：

	0	1	2

數學期望為.