Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）經過點（1， ），且離心率等于 ． （Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點P（2，0）作直線PA，PB交橢圓于A，B兩點，且滿足PA⊥PB，試判斷直線AB是否過定點，若過定點求出點坐標，若不過定點請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵橢圓C： （a＞b＞0）經過點（1， ），且離心率等于 ， ∴ =1， = ，
∴a=2，b= ，
∴橢圓C的方程為 ；
（Ⅱ）設直線AB的方程為y=kx+m，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
聯立橢圓方程得（1+2k2）x2+4mkx+2（m2﹣2）=0，
∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ．
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+mk（x1+x2）+m2= ，
由PA⊥PB，得（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，代入得4k2+8mkx+3m2=0
∴m=﹣2k（舍去），m=﹣ k，
∴直線AB的方程為y=k（x﹣ ），所以過定點（ ，0）
【解析】（Ⅰ）利用橢圓C： （a＞b＞0）經過點（1， ），且離心率等于 ，建立方程，求出a，b，即可求橢圓C的方程；（Ⅱ）設直線AB的方程為y=kx+m，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），把直線的方程與橢圓的方程聯立可得根與系數的關系，再利用PA⊥PB，得（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，即可得出m與k的關系，再由直線恒過定點的求法，從而得出答案．