Question

【題目】已知曲線f（x）= （x＞0）上有一點列Pn（xn ， yn）（n∈N*），過點Pn在x軸上的射影是Qn（xn ， 0），且x1+x2+x3+…+xn=2n+1﹣n﹣2．（n∈N*）
（1）求數列{xn}的通項公式；
（2）設四邊形PnQnQn+1Pn+1的面積是Sn ， 求Sn；
（3）在（2）條件下，求證： + +…+ ＜4．

Answer 1

【答案】
（1）解：n=1時，x1=22﹣1﹣2=1，

n≥2時，x1+x2+x3+…+xn﹣1=2n﹣（n﹣1）﹣2，①

又x1+x2+x3+…+xn=2n+1﹣n﹣2，②

②﹣①得：xn=2n﹣1（n=1仍成立）

故xn=2n﹣1；

（2）解：∵ ，

∴ ，又 ， ，

故四邊形PnQnQn+1Pn+1的面積為： ；

（3）證明：

，

∴ ．

【解析】（1）求出n=1時，x1=1；n≥2時，將n換為n﹣1，兩式相減，即可得到所求通項公式；（2）運用點滿足函數式，代入化簡，求出梯形的底和高，由梯形的面積公式，化簡可得；（3）求得： ，運用數列的求和方法：裂項相消求和，化簡即可得證．