Question

【題目】已知數列{an}中，a1=2，a2=3，an＞0，且滿足an+12﹣an=an+1+an2（n∈N*）．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設 ，求數列{bn}的前n項和Tn；
（3）設 （λ為正偶數，n∈N*），是否存在確定λ的值，使得對任意n∈N* ， 有Cn+1＞Cn恒成立，若存在，求出λ的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得， ，且an＞0，

∴an+1﹣an=1（n∈N*），且a2﹣a1=1．

∴數列{an}是以a1=2為首項，公差為1的等差數列，

∴an=n+1

（2）解：由（1）知 ，

設它的前n項和為Tn

∴Tn=221+322+…+（n+1）2n，

2Tn=222+323+…+（n+1）2n+1，

兩式相減可得：

所以

（3）解：∵an=n+1，∴ ，

要使Cn+1＞Cn恒成立，

則 恒成立，

∴34n﹣λ2n+1＞0恒成立，

∴λ＜32n﹣1恒成立．

當且僅當n=1時，32n﹣1有最小值為3，∴λ＜3．又λ為正偶數，則λ=2．

即存在λ=2，使得對任意n∈N*，都有Cn+1＞Cn

【解析】（1）將條件化簡可得an+1﹣an=1，再由等差數列的定義和通項公式，即可得到所求；（2）求得 ，再議數列的求和方法：錯位相減法，結合等比數列的求和公式，計算即可得到所求和；（3）求得an=n+1， ，要使Cn+1＞Cn恒成立，運用作差法，再由參數分離，求得右邊的最小值即可得到所求范圍．
【考點精析】通過靈活運用數列的前n項和和數列的通項公式，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式即可以解答此題．