Question

設拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，準線為l，l與x軸交于點R，A為C上一點，已知以F為圓心，FA為半徑的圓F交l于B，D兩點．
（1）若∠BFD=120°，△ABD的面積為8

3

，求p的值及圓F的方程；
（2）在（1）的條件下，若A，B，F三點在同一直線上，FD與拋物線C交于點E，求△EDA的面積．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）根據∠BFD，|BF|=|FD|，推斷出∠FBD=∠FBD=30°，進而表示出|FR|，|BF|，|BR|，|DF|，|DR|，進而表示出|BD|及圓的半徑，進而利用拋物線的定義求得A到直線l的距離，利用三角形的面積，求得p，進而求得F的坐標和圓的方．
（2）根據A，B，F三點一線，推斷出AB為圓F的直徑，求得∠ADB=90°，利用拋物線的定義求得|AD|=

1

2

|AB|，求得∠ABD，進而求得直線DF的斜率及直線的方程，與拋物線方程聯立，求得交點的坐標即E點坐標，進而求得點E到直線AD的距離，最后利用三角形面積公式求得△EDA的面積．

解答： 解：（1）∵∠BFD=120°，|BF|=|FD|，
∴∠FBD=∠FBD=30°，
∵在Rt△BFR中，|FR|=p，
∴|BF|=2p，|BR|=

3

p，
同理有|DF|=2p，|DR|=

3

p，
∴|BD|=|BR|+|RD|=

3

P，
圓F的半徑|FA|=|FB|=2p，
由拋物線的定義可知A到l的距離d=|FA|=2p，
∵△ABD的面積為8

3

，
∴

1

2

|BD|•d=

3

，即

1

2

•2

3

p•2p=8

3

，解的p=2或p=-2（舍去），
∴F（1，0），圓F的方程為（x-1）²+y²=16．
（2）∵A，B，F三點在同一直線上，
∴AB為圓F的直徑，∠ADB=90°，
由拋物線定義知|AD|=|FA|=

1

2

|AB|，
∴∠ABD=30°，
直線DF的斜率k=tan60°=

3

，
∴直線DF的方程為y=

3

（x-1），
解方程組

y= 3 (x-1) y2=4x

，求得

x=3 y=2 3

（舍去）或

x= 1 3 y= 2 3 3

，
∴點E（

1

3

，-

2 3

3

），到DA的距離d′=|DR|-|y_B|=2

3

-

2 3

3

=

4 3

3

，
∴S=

1

2

|DA|•d′=

1

2

×4×

4 3

3

=

8 3

3

．

點評：本題主要考查了拋物線的基本性質，圓錐曲線的位置關系，圓的方程等問題．綜合性強，計算量大，考查了學生分析推理和運算的能力．