Question

設(shè)不等式|x-2|+|3-x|＜a（a∈N^*）的解集為A，且2∈A，

3

2

∉A．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）=|x+a|+|x-2|的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）依題意可得1＜a≤2，又a∈N^*，于是可得a的值；
（Ⅱ）利用絕對(duì)值不等式的幾何意義可得f（x）=|x+a|+|x-2|≥|（x+2）-（x-2）|=4，從而可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵不等式|x-2|+|3-x|＜a（a∈N^*）的解集為A，且2∈A，

3

2

∉A，
所以

|2-2|+|3-2|＜a | 3 2 -2|+|3- 3 2 |≥a

，即

a＞1 a≤2

，
所以1＜a≤2，因?yàn)閍∈N^*，
所以a=2…5分
（Ⅱ）因?yàn)閍=2，
所以f（x）=|x+a|+|x-2|=|x+2|+|x-2|，
又|x-2|+|3-x|≥|（x+2）-（x-2）|=4，
所以f（x）=|x+2|+|x-2|的最小值是4…10分

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，著重考查絕對(duì)值的幾何意義的理解與應(yīng)用，屬于中檔題．