Question

【題目】設，Xn是曲線y=X2n+2+1在點（1,2）處的切線與x軸焦點的橫坐標
（1）求數列｛xn｝的通項公式；
（2）記Tn=....,證明Tn

Answer 1

【答案】
（1）

Xn=1-=

（2）

證明：由題設和（1）中的計算結果知

TN=....=()2()2...()2

當n=1，T1=，當n2時，因為=,所以Tn

綜上所述，n，均有Tn要證Tn，需考慮通項X2n-12,通過適當放縮能夠使得每項相消即可證明均有Tn

證明：由題設和（1）中的計算結果知

TN=....=()2()2...()2

當n=1時，T1=,當n2時，因為=,所以Tn

綜上所述，，均有Tn

【解析】
1、求導得，y'=(2x+2)x2n+1,因為x=1，所以k=2n+2,從而在（1，2）處的切線方程為y-2= （2n+2）（x-1），
令y=0，解得切線與x軸交點的橫坐標Xn=1-=。
2、證明：由題設和（1）中的計算結果知
TN=....=()2()2...()2
當n=1，T1= ， 當n2時，因為=,所以Tn
綜上所述，n，均有Tn要證Tn，需考慮通項X2n-12,通過適當放縮能夠使得每項相消即可證明均有Tn
證明：由題設和（1）中的計算結果知
TN=....=()2()2...()2
當n=1時，T1=,當n2時，因為=,所以Tn
綜上所述，，均有Tn
【考點精析】利用等差數列的通項公式（及其變式）對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知通項公式：或．