Question

已知橢圓：（）過(guò)點(diǎn)，且橢圓的離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）若動(dòng)點(diǎn)在直線上，過(guò)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，且為線段中點(diǎn)，再過(guò)作直線．求直線是否恒過(guò)定點(diǎn)，如果是則求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，不是請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）；（2）直線恒過(guò)定點(diǎn)．

試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及幾何性質(zhì)、直線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．第一問(wèn)，利用點(diǎn)在橢圓上和離心率得到方程組，解出a和b的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問(wèn)，需要對(duì)直線MN的斜率是否存在進(jìn)行討論，（ⅰ）若存在點(diǎn)P在MN上，設(shè)出直線MN的方程，由于直線MN與橢圓相交，所以兩方程聯(lián)立，得到兩根之和，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得到直線MN的斜率，由于直線MN與直線垂直，從而得到直線的斜率，因?yàn)橹本�也過(guò)點(diǎn)P，寫(xiě)出直線的方程，經(jīng)過(guò)整理，即可求出定點(diǎn)，（ⅱ）若直線MN的斜率不存在，則直線MN即為，而直線為x軸，經(jīng)驗(yàn)證直線，也過(guò)上述定點(diǎn)，所以綜上所述，有定點(diǎn)．
（1）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以， 所以，        1分
因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，即，      2分
解得，  所以橢圓的方程為．        4分
（2）設(shè)，，
①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，
由得，
所以， 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050002598289.png" style="vertical-align:middle;" />為中點(diǎn)，所以，即．
所以，                  8分
因?yàn)橹本�，所以，所以直線的方程為，
即 ，顯然直線恒過(guò)定點(diǎn)．    10分
②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線為軸，也過(guò)點(diǎn)．                 
綜上所述直線恒過(guò)定點(diǎn)．    12分