Question

【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓C的長軸長為4.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知直線與橢圓C交于兩點，是否存在實數k使得以線段為直徑的圓恰好經過坐標原點O？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，當時，以線段為直徑的圓恰好經過坐標原點O.

【解析】

（1）設橢圓的焦半距為，利用離心率為，橢圓的長軸長為4．列出方程組求解，推出，即可得到橢圓的方程．

（2）存在實數使得以線段為直徑的圓恰好經過坐標原點．設點，，，，將直線的方程代入，化簡，利用韋達定理，結合向量的數量積為0，轉化為：．求解即可．

解：（1）設橢圓的焦半距為c，則由題設，得，解得，

所以，故所求橢圓C的方程為

（2）存在實數k使得以線段為直徑的圓恰好經過坐標原點O.理由如下：

設點，，將直線的方程代入，

并整理，得.（*）

則，

因為以線段為直徑的圓恰好經過坐標原點O，所以，即.

又，于是，

解得，

經檢驗知：此時（*）式的，符合題意.

所以當時，以線段為直徑的圓恰好經過坐標原點O