【題目】如圖是一幅招貼畫的示意圖，其中ABCD是邊長為
的正方形，周圍是四個全等的弓形.已知O為正方形的中心，G為AD的中點，點P在直線OG上，弧AD是以P為圓心、PA為半徑的圓的一部分，OG的延長線交弧AD于點H.設弧AD的長為
，
.
（1）求關于
的函數關系式；
（2）定義比值
為招貼畫的優美系數，當優美系數最大時，招貼畫最優美.證明：當角滿足：
時，招貼畫最優美.
【答案】（1）
，
；（2）證明見解析
【解析】
（1）分類
時，點P在線段OG上，當
時，點P在線段GH上，當 
時，
.求出半徑
后可得弦長；
（2）由（1）的分類討論求得
.
，令
，用導數的知識求它的最大值即可得．
解：（1）當時，點P在線段OG上，
；
當時，點P在線段GH上，
；
當 時，. 綜上所述，，.
所以，弧AD的長
，故所求函數關系式為，.
（2）當時，
；
當時，
；
當 時，
.所以，
，.
從而，.
記，. 則
.
令
，得
. 因為，所以
，
從而
， 顯然
，所以
.
記滿足
的
，下面證明
是函數
的極值點.
設
，.則
在上恒成立， 從而
在上單調遞減，所以，當
時，
，即
，在
上單調遞增；當
時，
，即
，在
上單調遞減.
故 在處取得極大值，也是最大值.
所以，當
滿足時，函數即
取得最大值，此時招貼畫最優美.
習題精選系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】等比數列{an}的各項均為正數，且2a1＋3a2＝1， 
＝9a2a6.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)設bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數列
的前n項和．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數），以原點為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）分別寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；
（2）已知點
，直線與曲線相交于
兩點，求證：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】管道清潔棒是通過在管道內釋放清潔劑來清潔管道內壁的工具，現欲用清潔棒清潔一個如圖1所示的圓管直角彎頭的內壁，其縱截面如圖2所示，一根長度為
的清潔棒在彎頭內恰好處于
位置（圖中給出的數據是圓管內壁直徑大小，
）.
（1）請用角
表示清潔棒的長
；
（2）若想讓清潔棒通過該彎頭，清潔下一段圓管，求能通過該彎頭的清潔棒的最大長度.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是直角梯形且
∥
，側面
為等邊三角形，且平面
平面.
（1）求平面與平面
所成的銳二面角的大小；
（2）若
，且直線
與平面所成角為
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在①
，②
，③
這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.
已知等差數列
的公差為
，等差數列
的公差為
.設
分別是數列
的前
項和，且
， ，
（1）求數列的通項公式；
（2）設
，求數列
的前項和
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知等差數列{an}的各項均為正數，Sn為等差數列{an}的前n項和，
.
（1）求數列{an}的通項an；
（2）設bn＝an3n，求數列{bn}的前n項和Tn.
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