Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）若存在，且，使得，求證： .

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）求函數的單調區間，轉化為求函數導數值大于零或小于零的不等式的解；（2）根據題意對進行分類討論，當時顯然不行， 時，不能有，設，則由即可，利用單調性即可證出.

試題解析：（1）當時， ，

又，由，

所以函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（2）由，當時， ，此時在R上單調遞增；

由可得，與相矛盾，

所以，且的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

若，則由可得，與相矛盾，

同樣不能有，

不妨設，則由，

因為在上單調遞減，在上單調遞增，且，

所以當時， .

由， ，可得，故，

又在上單調遞減，且，所以，

所以，同理，即，解得，

所以.