Question

15．某保險公司針對一個擁有20000人的企業推出一款意外險產品，每年每位職工只要交少量保費，發生意外后可一次性獲得若干賠償金．保險公司把企業的所有崗位共分為A、B、C三類工種，從事三類工種的人數分布比例如圖，根據歷史數據統計出三類工種的賠付頻率如下表（并以此估計賠付頻率）．

工種類別	A	B	C
賠付頻率	$\frac{1}{1{0}^{5}}$	$\frac{2}{1{0}^{5}}$	$\frac{1}{1{0}^{4}}$

對于A、B、C三類工種職工每人每年保費分別為a元，a元，b元，出險后的賠償金額分別為100萬元，100萬元，50萬元，保險公司在開展此項業務過程中的固定支出為每年10萬元．
（Ⅰ）若保險公司要求利潤的期望不低于保費的20%，試確定保費a、b所要滿足的條件；
（Ⅱ）現有如下兩個方案供企業選擇；
方案1：企業不與保險公司合作，企業自行拿出與保險提供的等額的賠償金額賠付給出險職工；
方案2：企業與保險公司合作，企業負責職工保費的60%，職工個人負責保費的40%，出險后賠償金由保險公司賠付．
若企業選擇方案2的支出（不包括職工支出）低于選擇方案1的支出期望，求保費a、b所要滿足的條件，并判斷企業是否可與保險公司合作．（若企業選擇方案2的支出低于選擇方案1的支出期望，且與（Ⅰ）中保險公司所提條件不矛盾，則企業可與保險公司合作．）

Answer 1

分析 （Ⅰ）設工種A，B，C職工的每份保單保險公司的效益為隨機變量X，Y，Z，
寫出隨機變量X、Y、Z的分布列，計算保險公司期望收益EX、EY、EZ；
根據要求列出不等式，求出a、b滿足的條件；
（Ⅱ）計算企業不與保險公司合作時安全支出（即賠償金的期望值），
以及企業與保險公司合作的安全支出（即保費），比較大小．

解答 解：（Ⅰ）設工種A，B，C職工的每份保單保險公司的效益為隨機變量X，Y，Z，
則隨機變量X的分布列為：

X	a	a-100×104
P	$1-\frac{1}{{{{10}^5}}}$	$\frac{1}{{{{10}^5}}}$

隨機變量Y的分布列為：

Y	a	a-100×104
P	$1-\frac{2}{{{{10}^5}}}$	$\frac{2}{{{{10}^5}}}$

隨機變量Z的分布列為：

Z	b	b-50×104
P	$1-\frac{1}{{{{10}^4}}}$	$\frac{1}{{{{10}^4}}}$

保險公司期望收益為$EX=a×（{1-\frac{1}{{{{10}^5}}}}）$$+（a-100×{10^4}）×（{\frac{1}{{{{10}^5}}}}）$=a-10，
$EY=a×（{1-\frac{2}{{{{10}^5}}}}）+（a-100×{10^4}）×（{\frac{2}{{{{10}^5}}}}）$=a-20，
$EZ=b×（{1-\frac{1}{{{{10}^4}}}}）+（b-50×{10^4}）×（{\frac{1}{{{{10}^4}}}}）$=b-50；
根據要求（a-10）×20000×0.6+（a-20）×20000×0.3+（b-50）×20000×0.1-10×10⁴
≥（a×20000×0.6+a×20000×0.3+b×20000×0.1）×0.2，
解得9a+b≥275，
所以每張保單的保費需要滿足9a+b≥275元；
（Ⅱ）若該企業不與保險公司合作，則安全支出，
即賠償金的期望值為
20000×0.6×$\frac{1}{{10}^{5}}$×100×10⁴+0.3×$\frac{2}{{10}^{5}}$×100×10⁴+0.1×$\frac{1}{{10}^{4}}$×50×10⁴=17×20000；
若該企業與保險公司合作，則安全支出，
即保費為20000×（0.6×a+0.3×a+0.1×b）×0.6=（0.9×a+0.1×b）×0.6×20000；
解得9a+b＜283.33，
結果與（Ⅰ）不沖突，所以企業有可能與保險公司合作．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望的計算問題，也考查了不等式的應用問題，是綜合題．