Question

5．已知拋物線方程為y²=4x，點Q的坐標為（2，3），P為拋物線上動點，則點P到準線的距離與到點Q的距離之和的最小值為$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 根據拋物線的定義，點P到點A（2，3）的距離與P到該拋物線準線的距離之和等于點P到點A（2，3）的距離與P到焦點F的距離之和，當且僅當三點A、P、F共線時，點P到點A（2，3）的距離與P到該拋物線準線的距離之和最小．

解答 解：拋物線y²=4x的焦點坐標為（1，0），
根據拋物線的定義，點P到點A（2，3）的距離與P到該拋物線準線的距離之和等于點P到點A（2，3）的距離與P到焦點F的距離之和，
當且僅當三點A、P、F共線時，點P到點A（2，3）的距離與P到該拋物線準線的距離之和最小，
此時，最小值為|AF|=$\sqrt{（2-1）^{2}+（3-0）^{2}}=\sqrt{10}$，
故答案為：$\sqrt{10}$．

點評 本題考查拋物線的定義，考查求距離和，解題的關鍵是點P到點A（2，3）的距離與P到該拋物線準線的距離之和轉化為點P到點A（2，3）的距離與P到焦點F的距離之和，屬于中檔題．