Question

3．已知實數x，y滿足不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+2y-5≥0}\\{y-2≤0}\end{array}}\right.$目標函數z=2log₄y-log₂x，則z的最大值為1．

Answer 1

分析 先畫出滿足不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+2y-5≥0}\\{y-2≤0}\end{array}}\right.$的平面區域，然后分析z=2log₄y-log₂x的幾何意義，進而給出z的取值范圍．

解答 解：實數x，y滿足不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+2y-5≥0}\\{y-2≤0}\end{array}}\right.$平面區域，如下圖所示：
∵目標函數z=2log₄y-log₂x=log₂$\frac{y}{x}$，其中$\frac{y}{x}$表示區域內點P與O（0，0）點連線的斜率，由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$，解得A（1，2）
又∵當點P在A時，即當x=1，y=2時，$\frac{y}{x}$取得最大值，z最大，最大值為z=1，
故答案為：1．

點評 平面區域的最值問題是線性規劃問題中一類重要題型，在解題時，關鍵是正確地畫出平面區域，分析表達式的幾何意義，然后結合數形結合的思想，分析圖形，找出滿足條件的點的坐標，是解題的關鍵．