Question

6．已知定義在R上的函數f（x）滿足f（x+2）=2f（x），且當x∈[2，4]時，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+4x，2≤x≤3\\ \frac{{{x^2}+2}}{x}，3＜x≤4\end{array}\right.$，g（x）=ax+1，對?x₁∈[-2，0]，?x₂∈[-2，1]，使得g（x₂）=f（x₁），則實數a的取值范圍為（　　）

• A． $（{-∞，-\frac{1}{8}}）∪[{\frac{1}{8}，+∞}）$
• B． $[{-\frac{1}{4}，0}）∪（{0，\frac{1}{8}}]$
• C． （0，8]
• D． $（{-∞，-\frac{1}{4}}]∪[{\frac{1}{8}，+∞}）$

Answer 1

分析 求出f（x）在[2，4]上的值域，利用f（x）的性質得出f（x）在[-2，0]上的值域，再求出g（x）在[-2，1]上的值域，根據題意得出兩值域的包含關系，從而解出a的范圍．

解答 解：∵f（x）在[2，3]上單調遞減，在（3，4]上單調遞增，
∴f（x）在[2，3]上的值域為[3，4]，在（3，4]上的值域為（$\frac{11}{3}$，$\frac{9}{2}$]，
∴f（x）在[2，4]上的值域為[3，$\frac{9}{2}$]，
∵f（x+2）=2f（x），
∴f（x）=$\frac{1}{2}$f（x+2）=$\frac{1}{4}$f（x+4），
∴f（x）在[-2，0]上的值域為[$\frac{3}{4}$，$\frac{9}{8}$]，
當a＞0時，g（x）為增函數，g（x）在[-2，1]上的值域為[-2a+1，a+1]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}≥-2a+1}\\{\frac{9}{8}≤a+1}\end{array}\right.$，解得a≥$\frac{1}{8}$；
當a＜0時，g（x）為減函數，g（x）在[-2，1]上的值域為[a+1，-2a+1]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}≥a+1}\\{\frac{9}{8}≤-2a+1}\end{array}\right.$，解得a≤-$\frac{1}{4}$；
當a=0時，g（x）為常數函數，值域為{1}，不符合題意；
綜上，a的范圍是a≥$\frac{1}{8}$或a≤-$\frac{1}{4}$．
故選：D．

點評 本題考查了分段函數的值域計算，集合的包含關系，屬于中檔題．