Question

【題目】如圖所示，直棱柱的底面是邊長為4的菱形，且，側棱長為6， ，點分別是線段的中點.

（1）證明： 平面；

（2）求二面角.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）第（1）問，先證明 ,再證明平面 .(2)第（2）問，一般利用向量法求二面角的平面角的余弦值.

試題解析：

(1)由題知， ，

為的中點，∴，∴，

又∵側棱與底面垂直,

∴平面平面，且交線為，

∴平面

又平面，∴ ，

又∵， 為d 中點，∴，

又∵，

∴平面.

(2)由題及（1）的證明可知兩兩垂直，以為原點，分別以為軸的正半軸建立空間直角坐標系（如圖所示），

則

∵分別為的中點，

∴.

∴，

設平面的一個法向量為，

則，即，

取，得，

由（1）的證明可知為平面的一個法向量，

設二面角為，則易知為銳角，

則有.

∴二面角的余弦值為.