Question

15．如圖，橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長軸長為4，點A，B，C為橢圓上的三個點，A為橢圓的右端點，BC過中心O，且|BC|=2|AB|，S_△ABC=3．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設P，Q是橢圓上位于直線AC同側的兩個動點（異于A，C），且滿足∠PBC=∠QBA，試討論直線BP與直線BQ斜率之間的關系，并求直線PQ的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由4a=4，則a=2，根據三角形的面積公式，求得B點坐標，代入橢圓方程，即可求得b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）由題意可知：∠PBC=∠QBA，則k_BP=-k_BQ，設直線BP的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理求得P點坐標，同理求得Q點坐標，直線PQ的斜率．

解答 解：（Ⅰ）由2a=4，則a=2，|BC|=2|AB|，S_△OAB=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{3}{2}$．
由△AOB是等腰三角形，則B（1，$\frac{3}{2}$），將B代入橢圓方程，$\frac{1}{4}+\frac{9}{4^{2}}=1$，解得：b²=3，
∴橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）由題意可知：BP，BQ斜率存在，又∠PBC=∠QBA，
則k_BP=-k_BQ，
設直線BP：y-$\frac{3}{2}$=k（x-1），代入橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
化簡得：（3+4k²）x²-8k（k-$\frac{3}{2}$）x+4k²-12k-3=0，
由其一解為1，另一解為x_P=$\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}$，解得：y_P=$\frac{-12{k}^{2}-6k}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{3}{2}$，
用-k代入，解得：x_Q=$\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}$，y_Q=$\frac{-12{k}^{2}+6k}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{3}{2}$，
則直線PQ的斜率k_PQ=$\frac{{y}_{P}-{y}_{Q}}{{x}_{P}-{x}_{Q}}$=$\frac{1}{2}$，
∴直線PQ的斜率為$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何意義，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理及直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．