Question

6．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow$為兩個互相垂直的單位向量，向量$\overrightarrow c$滿足$（\overrightarrow a-\overrightarrow c）•（2\overrightarrow b-\overrightarrow c）$=0，則$|\overrightarrow c{|_{max}}$=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 作出圖形，根據(jù)向量垂直得出$\overrightarrow{c}$的終點的軌跡，從而得出|$\overrightarrow{c}$|的最大模長．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，則OA=OB=1，
延長OB到D，使得OD=2OB，則$\overrightarrow{OD}$=2$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$，
∵$（\overrightarrow a-\overrightarrow c）•（2\overrightarrow b-\overrightarrow c）$=0，
∴CA⊥CD，即C在以AD為直徑的圓M上，
又OA⊥OD，
∴OC的最大值為圓M的直徑AD=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積與向量垂直的關(guān)系，屬于中檔題．