Question

9．菜農定期使用低害殺蟲農藥對蔬菜進行噴灑，以防止害蟲的危害，但采集上市時蔬菜仍存有少量的殘留農藥，食用時需要用清水清洗干凈，下表是用清水x（單位：千克） 清洗該蔬菜1千克后，蔬菜上殘留的農藥y（單位：微克） 的統計表：

x	1	2	3	4	5
y	58	54	39	29	10

（1）在下面的坐標系中，描出散點圖，并判斷變量x與y的相關性；
（2）若用解析式$\widehaty=c{x^2}+d$作為蔬菜農藥殘量$\widehaty$與用水量x的回歸方程，令ω=x²，計算平均值$\overlineω$與$\overline y$，完成以下表格（填在答題卡中），求出$\widehaty$與x的回歸方程．（c，d精確到0.1）

ω	1	4	9	16	25
y	58	54	39	29	10
${ω_i}-\overlineω$	-10	-7	-2	5	14
${y_i}-\overline y$	20	16	1		-28

（3）對于某種殘留在蔬菜上的農藥，當它的殘留量低于20微克時對人體無害，為了放心食用該蔬菜，請
估計需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？（精確到0.1，參考數據$\sqrt{5}≈2.236$）
（附：線性回歸方程$\widehaty=bx+a$中系數計算公式分別為；$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{（\overline x）}^2}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y}）}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，$a=\overline y-b\overline x$）

Answer 1

分析 （1）根據題意描出散點圖，根據散點圖判斷變量x與y的相關性；
（2）計算$\overline{ω}$、$\overline{y}$，填表即可，求出回歸系數，寫出回歸方程；
（3）求$\widehaty＜20$時x的取值范圍即可．

解答 解：（1）在下面的坐標系中，描出散點圖如圖所示，
根據散點圖知變量x與y負相關；

（2）計算$\overline{ω}$=$\frac{1}{5}$×（1²+2²+3²+4²+5²）=11，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（58+54+39+29+10）=38；
填表如下；

ω	1	4	9	16	25
y	58	54	39	29	10
${ω_i}-\overlineω$	-10	-7	-2	5	14
${y_i}-\overline y$	20	16	1	-9	-28

計算$c=\frac{{-10×20+（{-7}）×16+（{-2}）×1+5×（{-9}）+14×（{-28}）}}{{{{（{-10}）}^2}+{{（{-7}）}^2}+{{（{-2}）}^2}+{5^2}+{{14}^2}}}=\frac{751}{374}=-2.008≈-2.0$，
$d=\overline y-c\overlineω=38+2.0×11-60.0$，
∴回歸方程為$\widehaty=-2.0ω+60.0=-2.0{x^2}+60.0$；
（3）當$\widehaty＜20$時，-2.0x²+60.0＜20，
解得x＞2$\sqrt{5}$≈4.5，
∴為了放心食用該蔬菜，估計需要用4.5千克的清水清洗一千克蔬菜．

點評 本題考查了非線性相關的二次擬合問題，也考查了線性回歸方程的計算問題，是綜合題．