Question

【題目】已知曲線y＝x＋ln x在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，則a＝________

Answer 1

【答案】a＝8

【解析】∵y′＝1＋，∴y′|x＝1＝2，∴y＝x＋lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y－1＝2(x－1)，∴y＝2x－1.又切線與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，當(dāng)a＝0時(shí)，y＝2x＋1與y＝2x－1平行，故a≠0，由得ax2＋ax＋2＝0，∵Δ＝a2－8a＝0，∴a＝8.

一題多解：　∵y′＝1＋，∴y′|x＝1＝2，∴y＝x＋lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y－1＝2(x－1)，∴y＝2x－1，又切線與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，當(dāng)a＝0時(shí)，y＝2x＋1與y＝2x－1平行，故a≠0.∵y′＝2ax＋(a＋2)，∴令2ax＋a＋2＝2，得x＝－，代入y＝2x－1，得y＝－2，∴點(diǎn)在y＝ax2＋(a＋2)x＋1的圖象上，故－2＝a×2＋(a＋2)×＋1，∴a＝8.