Question

【題目】已知函數， .

（Ⅰ）求的最大值；

（Ⅱ）若，判斷的單調性；

（Ⅲ）若有兩個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）最大值f(e)＝；（Ⅱ）見解析；（III）.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）求解導函數有f′(x)＝（x＞0），由導函數研究函數的單調性可得當x＝e時，f(x)取得最大值f(e)＝．

（Ⅱ）a=1, ,令，則， ,則. 在x>0時單調遞減.

（III）令 ，原問題等價于h（x）有兩個零點， ，

結合(Ⅰ)的結論可得.

試題解析：

（Ⅰ）f′(x)＝（x＞0），

當x∈(0，e)時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增；

當x∈(e，＋∞)時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減，

所以當x＝e時，f(x)取得最大值f(e)＝．

（Ⅱ）a=1, ,令，

，當，

當， ,即，

.故在x>0時單調遞減.

（III） g(x)有兩個零點等價于h（x）有兩個零點，

由（1）知，

由圖像可知.