Question

【題目】已知拋物線Γ的準線方程為.焦點為.

（1）求證：拋物線Γ上任意一點的坐標都滿足方程：

（2）請求出拋物線Γ的對稱性和范圍，并運用以上方程證明你的結論；

（3）設垂直于軸的直線與拋物線交于兩點，求線段的中點的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）關于對稱.證明見解析（3）（在拋物線內）

【解析】

（1）由拋物線的定義可得|PF|＝d（d為P到準線的距離），運用兩點的距離公式和點到直線的距離公式，化簡可得所求軌跡方程；

（2）由拋物線的方程的特點，考慮點關于直線y＝x的對稱點的特征和對稱軸與準線和拋物線的交點的關系，以及直線和拋物線相切的特點，可得所求范圍；

（3）設垂直于x軸的直線為x＝t，代入拋物線的方程x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y＝0，運用韋達定理和中點坐標公式，以及參數方程化為普通方程可得所求軌跡方程．

（1）拋物線Γ的準線方程為x+y+2＝0，焦點為F（1，1），

拋物線Γ上任意一點P的坐標（x，y），由拋物線的定義可得|PF|＝d（d為P到準線的距離），即為，兩邊平方化簡可得x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y＝0；

（2）拋物線關于y＝x對稱，頂點為（0，0），范圍為x≥﹣1，y≥﹣1，

由方程x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y＝0，

設拋物線上任一點（x，y）關于直線y＝x對稱的點為（y，x），滿足原方程，

則拋物線關于直線y＝x對稱；

由直線y﹣1＝x﹣1即y＝x，聯立x+y+2＝0，解得x＝y＝﹣1，

可得拋物線的頂點為（0，0）；

由x＝﹣1和x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y＝0聯立可得切點為（﹣1，3），

同樣由y＝﹣1和x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y＝0聯立可得切點為（3，﹣1），

可得拋物線的范圍為x≥﹣1，y≥﹣1；

（3）設垂直于x軸的直線為x＝t，代入拋物線的方程x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y＝0，

可得t2﹣（2t+8）y+ t2﹣8t＝0，

設A（t，y1），B（t，y2），可得y1+y2＝2t+8，

則AB的中點為（t，t+4），

則AB的中點的軌跡方程為直線y＝x+4（在拋物線內）．