Question

【題目】設有二元關系，已知曲線.

（1）若時，正方形的四個頂點均在曲線上，求正方形的面積；

（2）設曲線與軸的交點是，拋物線與軸的交點是，直線與曲線交于，直線與曲線交于，求證直線過定點，并求該定點的坐標；

（3）設曲線與軸的交點是，，可知動點在某確定的曲線上運動，曲線上與上述曲線在時共有4個交點，其坐標分別是、、、，集合的所有非空子集設為，將中的所有元素相加（若只有一個元素，則和是其自身）得到255個數，求所有正整數的值，使得是一個與變數及變數均無關的常數.

Answer 1

【答案】（1）4；（2）直線過定點；（3）是奇數時，是一個與變數及變數均無關的常數.

【解析】

（1）令，解得，即表示兩條平行直線，這兩條平行線間的距離2為正方形的邊長，由此可得正方形面積；

（2）曲線中，令，則，設，由韋達定理得，寫出的方程求得的坐標，從而得直線的方程（只含有參數），觀察方程可得直線所過定點；

（3）令，則，則，即點在曲線上，而曲線表示兩條平行線且斜率為1，因此可知點關于直線對稱，從而可得，同理．于是有，有，則時，，對其他244個子集配對：，滿足，，這樣的集合“對”共有127對。

以下證明：對的元素和和的元素和，當為奇數時，恒有，為此可用數學歸納法證明能夠整除，從而得結論．

（1）令，得，即表示兩條平行直線，這兩條平行線間的距離為，此為正方形的邊長，正方形的面積為4。

（2）在曲線中，令，則，設，由韋達定理得，由題意知，直線方程為，方程為，

由，解得，同理可得，∵，∴，∴直線方程為，化簡為：，時，，故直線過定點；

（3）令，則，則，即點在曲線上，又曲線：恒表示兩條平行直線，如圖，

關于直線對稱，則，即，同理，則，集合的所有非空子集設為，取，顯然，則時，，對的其他子集，我們把它們配成集合“對”，使得，，這樣的集合“對”共有127對。

以下證明：對的元素和和的元素和，當為奇數時，恒有，為此先證明：是奇數時，則能夠整除，

用數學歸納法證之：

(i)當時顯然成立，

(ii)假設（是奇數）成立，即能夠整除，則當時，，

由歸納假設知此式能被整除，

由(i)(ii)可知當為奇數時，能夠整除．

∴為奇數時，（其中是關于的整式），

∵，，∴對每一個集合“對”，，

則一定有＝0，，于是是常數．