Question

【題目】如圖，已知平面，，，

且是的中點，.

（1）求證：平面；

（2）求證：平面平面；

（3）求此多面體的體積.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

試題（1）取中點，連接、，結合三角形中位線定理，可得，且，進而得到，結合線面平行的判定定理，即可得到平面；（2）首先判斷為正三角形，結合為中點可得，又由已知可得，根據線面垂直的判定定理，可得平面，進而根據面面平行的判定定理，得到平面平面；（3）多面體是以為頂點，以四邊形為底邊的四棱錐，求出棱錐的高及底面面積，然后代入棱錐的體積公式，即可求出答案.

試題解析：（1）取中點，連結、，為的中點， ，且，又，且 ，且，為平行四邊形，， 又平面，平面，平面；

（2），，所以為正三角形，，

平面，，平面，又平面，

，又，，平面，又，平面，

又平面，平面平面；

（3）此多面體是一個以為定點，以四邊形為底邊的四棱錐，

，平面平面，

等邊三角形邊上的高就是四棱錐的高，.