Question

【題目】如圖，底面是等腰梯形，，，點為的中點，以為邊作正方形，且平面平面.

（1）證明：平面平面.

（2）求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

(1)由、推出四邊形是平行四邊形，再由推出四邊形是菱形從而可得，利用面面垂直的性質推出平面，即可推出兩平面垂直；(2)由(1)及已知條件可得四邊形是菱形且，推出相應邊的長度進而求出的面積，利用面面垂直的性質由平面平面推出、從而可求OF，最后利用等體積法即可求得到平面的距離.

（1）因為點為的中點，，所以，

因為，所以，所以四邊形是平行四邊形.

因為，所以平行四邊形是菱形，所以.

因為平面平面，且平面平面，

所以平面，

因為平面，所以平面平面.

（2）記，的交點為，連接.

由（1）可知平面，則.

因為底面是等腰梯形，，，所以四邊形是菱形，且.

則，，從而的面積.

因為平面平面，且四邊形為正方形，所以，，

所以，則.

設點到平面的距離為.

因為，所以，

即，解得.

故點到平面的距離為.