Question

【題目】如圖，橢圓的離心率為，且橢圓經過點，已知點，過點的動直線與橢圓相交于兩點， 與關于軸對稱.

（1）求的方程；

（2）證明： 三點共線.

Answer 1

【答案】(1) .(2)證明見解析.

【解析】試題分析：

（1）由橢圓的離心率為，且過點及可得可組成關于的方程組，解方程組可得橢圓方程。（2）①當直線與軸垂直時，結論成立；②當直線的斜率存在時，設出直線的方程，與橢圓方程聯立消元后得到二次方程，利用根據系數的關系并結合斜率公式可得，從而可得結論成立。

試題解析：

（1）解：由已知得，

解得，

所以橢圓的方程為.

（2）證明：①當直線與軸垂直時，顯然有三點共線。

②當直線的斜率存在時，設直線的方程為

由，

因為直線與橢圓交于A,B兩點，

所以，

設的坐標分別為，

則，

因此，

易知點關于軸垂直的點的坐標為，

又

，

所以，

又， 有公共點，

所以三點共線.