Question

【題目】首項為正數的數列{an}滿足an＋1＝(a＋3)，n∈N*.
（1）證明：若a1為奇數，則對一切n≥2，an都是奇數；
（2）若對一切n∈N*都有an＋1>an ， 求a1的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】

證明：已知a1是奇數，假設ak＝2m－1是奇數，其中m為正整數，則由遞推關系得 是奇數．

根據數學歸納法，對任意n∈N*，an都是奇數

（2）

【解答】

由an+1-an=(an-1)(an-3)知

當且僅當an<1或an>3時，an+1>an,

另一方面，若0<ak<1,

則0<ak+1<=1;

若ak>3，則ak+1>.

根據數學歸納法可知，

綜上所述，對一切n∈N*，都有an＋1>an的充要條件是0<a1<1或a1>3.

【解析】一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：(1)(歸納奠基)證明當n取第一個值時命題成立；(2)(歸納遞推)假設n＝k(k≥n0，k∈N+)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立．
只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立．上述證明方法叫做數學歸納法
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數學歸納法的步驟的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握

1. 步驟:A.命題在n=1（或）時成立，這是遞推的基礎；B.假設在n=k時命題成立； C.證明n=k+1時命題也成立,完成這兩步,就可以斷定對任何自然數(或n>=,且)結論都成立

．