Question

【題目】函數y=f（x）是定義在a，b上的增函數，其中a，b∈R且0＜b＜﹣a，已知y=f（x）無零點，設函數F（x）=f2（x）+f2（﹣x），則對于F（x）有以下四個說法：
①定義域是[﹣b，b]；②是偶函數；③最小值是0；④在定義域內單調遞增．
其中正確的有（填入你認為正確的所有序號）

Answer 1

【答案】①②
【解析】解：根據題意，依次分析4個命題：
對于①，對于F（x）=f2（x）+f2（﹣x），有a≤x≤b，a≤﹣x≤b，
而又由0＜b＜﹣a，則F（x）=f2（x）+f2（﹣x）中，x的取值范圍是﹣b≤x≤b，即其定義域是[﹣b，b]，則①正確；
對于②，F（﹣x）=f2（﹣x）+f2（x）=F（x），且其定義域為[﹣b，b]，關于原點對稱，
則F（x）為偶函數，②正確；
對于③，由y=f（x）無零點，假設f（x）=2x ， F（x）=22x+2﹣2x=22x+ ≥2，其最小值為2，故③錯誤；
對于④，由于F（x）是偶函數，則F（x）在[﹣b，0]上與[0，b]上的單調性相反，故F（x）在其定義域內不會單調遞增，④錯誤；
所以答案是①②．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的定義域及其求法和函數的值域的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零；求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的．