Question

【題目】已知f（x）是定義在[m，n]上的函數，記F（x）=f（x）﹣（ax+b），|F（x）|的最大值為M（a，b）．若存在m≤x1＜x2＜x3≤n，滿足|F（x1）|=M（a，b），F（x2）=﹣F（x1）．F（x3）=F（x1），則稱一次函數y=ax+b是f（x）的“逼近函數”，此時的M（a，b）稱為f（x）在[m，n]上的“逼近確界”．
（1）驗證：y=4x﹣1是g（x）=2x2 ， x∈[0，2]的“逼近函數”；
（2）已知f（x）= ，x∈[0，4]，F（0）=F（4）=﹣M（a，b）．若y=ax+b是f（x）的“逼近函數”，求a，b的值；
（3）已知f（x）= ，x∈[0，4]的逼近確界為 ，求證：對任意常數a，b，M（a，b）≥ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：記G（x）=2x2﹣（4x﹣1）=2（x﹣1）2﹣1，x∈[0，2]．則|G（x）|的最大值為1，

且G（0）=1，G（1）=﹣1，G（2）=1．故y=4x﹣1是g（x）=2x2，x∈[0，2]的“逼近函數”．

（2）解：F（x）= ﹣（ax+b），由 ，可得M（a，b）=b，a= ．

存在x0∈（0，4）滿足F（x2）=M（a，b），即F（a，b）max=F（x2）=b，

即F（x）= ﹣ x﹣b=﹣ + ﹣b，故x2=1．

由F（1）= ﹣b=b，可得b=

（3）解：證明：M（a，b）= = |t﹣at2﹣b

|= ．

當 [0，2]時，2M（a，b）≥|b|+|2﹣4a﹣b|≥|2﹣4a|＞1，故M（a，b）≥

【解析】（1）記G（x）=2x2﹣（4x﹣1）=2（x﹣1）2﹣1，x∈[0，2]．利用二次函數的單調性可得|G（x）|的最大值為1，且G（0）=1，G（1）=﹣1，G（2）=1．（2）F（x）= ﹣（ax+b），由 ，可得M（a，b）=b，a= ．存在x0∈（0，4）滿足F（x2）=M（a，b），即F（a，b）max=F（x2）=b，即可得出．（3）M（a，b）= = |t﹣at2﹣b|= ．即可得出．