Question

【題目】已知函數f（x）=（a-）x2-2ax+lnx，a∈R

（1）當a=1時，求f（x）在區間[1，e]上的最大值和最小值；

（2）求g（x）=f（x）+ax在x=1處的切線方程；

（3）若在區間（1，+∞）上，f（x）＜0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）最大值，最小值．（2）；（3）．

【解析】

(1)求出導函數，明確函數的單調性，即可得到f（x）在區間[1，e]上的最大值和最小值；

(2)利用導數的幾何意義可得切線斜率g′（1）=a，結合點斜式得到切線方程；

(3)求出導函數f′（x）=．對a分類討論，明確函數的單調性，求出函數的最值即可得到實數a的取值范圍．

（1）當a=1時，，=．

對于x∈[1，e]，f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在區間[1，e]上單調遞增．

∴f（x）max=f（e）=，．

（2）g（x）=，g（1）=．

g′（x）=（2a-1）x-a+，g′（1）=a．

∴g（x）=f（x）+ax在x=1處的切線方程是=a（x-1），即；

（3）函數f（x）=（a-）x2-2ax+lnx，

f′（x）==，x >1，

（i）當a時，恒有f′（x）＜0，

∴函數f（x）在區間（1，+∞）上單調遞減．

要滿足在區間（1，+∞）上，f（x）＜0恒成立，則f（1）=-a-≤0即可，解得．

∴實數a的取值范圍是．

（ii）當a時，令f′（x）=0，解得x1=1，．

①當1=x1＜x2時，即時，在區間（x2，+∞）上有f′（x）＞0，此時f（x）在此區間上單調遞增，不合題意，應舍去．

②當x2≤x1=1時，即a≥1，在區間（1，+∞）上有f′（x）＞0，此時f（x）單調遞增，不合題意．

綜上（i）（ii）可知：實數a的取值范圍是．