Question

【題目】在平面上給定相異兩點(diǎn)A，B，設(shè)P點(diǎn)在同一平面上且滿足，當(dāng)且時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓，現(xiàn)有雙曲線（，），A，B為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，C，D為雙曲線的虛軸端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，面積的最大值為，面積的最小值為4，則雙曲線的離心率為______.

Answer 1

【答案】

【解析】

根據(jù)為雙曲線的左、右頂點(diǎn)可設(shè),,,由兩點(diǎn)間距離公式并化簡(jiǎn)可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.由為雙曲線的左、右頂點(diǎn)可知當(dāng)位于圓的最高點(diǎn)時(shí)的面積最大,根據(jù)面積最大值求得.當(dāng)位于圓的最左端時(shí)的面積最小,結(jié)合最小面積可求得,即可求得雙曲線的離心率.

設(shè),,,

依題意,得,

即,

兩邊平方化簡(jiǎn)得,則圓心為,半徑,

當(dāng)位于圓的最高點(diǎn)時(shí)的面積最大,最大面積為,

解得；

當(dāng)位于圓的最左端時(shí)的面積最小,最小面積為,

解得,

故雙曲線的離心率為.

故答案為: