Question

【題目】某小區(qū)有一塊三角形空地，如圖△ABC，其中AC=180米，BC=90米，∠C=90°，開(kāi)發(fā)商計(jì)劃在這片空地上進(jìn)行綠化和修建運(yùn)動(dòng)場(chǎng)所，在△ABC內(nèi)的P點(diǎn)處有一服務(wù)站（其大小可忽略不計(jì)），開(kāi)發(fā)商打算在AC邊上選一點(diǎn)D，然后過(guò)點(diǎn)P和點(diǎn)D畫一分界線與邊AB相交于點(diǎn)E，在△ADE區(qū)域內(nèi)綠化，在四邊形BCDE區(qū)域內(nèi)修建運(yùn)動(dòng)場(chǎng)所. 現(xiàn)已知點(diǎn)P處的服務(wù)站與AC距離為10米，與BC距離為100米. 設(shè)米，試問(wèn)取何值時(shí)，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)所面積最大?

Answer 1

【答案】當(dāng)時(shí)，綠化面積最小，從而運(yùn)動(dòng)場(chǎng)所面積最大

【解析】

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，CA所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，得到C、A、B、P、D的坐標(biāo)，再寫出直線DE、AB的方程，由此聯(lián)立解出E的坐標(biāo)，進(jìn)而表示△ADE的面積，由換元法簡(jiǎn)化面積表達(dá)式，從而利用基本不等式的知識(shí)分析可得答案.

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，CA所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，

則，，，，.
DE所在直線方程為，①
AB所在直線方程為，②
解①、②組成的方程組得，，
直線DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，
，
則，
設(shè)，

，
(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，
此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，綠化面積最小，從而運(yùn)動(dòng)場(chǎng)所面積最大.