Question

【題目】已知函數，在點處的切線方程為.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）已知，當時，恒成立，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）對于在中的任意一個常數，是否存在正數，使得，請說明理由。

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)見解析

【解析】

（Ⅰ）根據導數幾何意義列式可得方程組，解得的值；（Ⅱ）先化簡不等式，再研究函數最小值，利用導數易得函數單調性，由單調性得最小值，解不等式得結果；（Ⅲ）先化簡不等式，再研究函數最小值，利用導數易得函數單調性即得最小值，最后再利用導數證明.

（Ⅰ）解：函數的導數為，在點處的切線方程為，可得，

所以函數的切線方程為，即，

所以，解得.

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可得，

因為，所以，即為

可令，

由，，可得，即有，在遞增，

可得，所以，故的取值范圍為；

（Ⅲ）解：對于在中的任意一個常數，

假設存在正數，使得：.

由成立，

從而存在正數，使得上式成立，只需上式的最小值小于即可.

令，

令，解得，令，解得，

則為函數的極小值，即為最小值點.

故的最小值為

，

再令

則在遞增，可得，則.

故存在正數，使得.