Question

已知函數f（x）=ax+xlnx的圖象在點x=e（e為自然對數的底數）處的切線斜率為3．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）若k∈Z，且f（x）＞kx-k對任意x＞1恒成立，求k的最大值；
（Ⅲ）若a_k=2ln2+3ln3+…+klnk（k≥3，k∈N^*），證明：

n

k=3

1

ak

＜1（n≥k，n∈N^*）．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,函數恒成立問題

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）由已知得f′（x）=a+lnx+1，故f′（e）=3，由此能求出a．
（Ⅱ）f（x）＞kx-k對任意x＞1恒成立，即k＜

x+xlnx

x-1

對任意x＞1恒成立，求出右邊的最小值，即可求得k的最大值．
（Ⅲ）由（II）知xlnx＞2x-3（x＞1），取x=k（k≥2，k∈N^*），疊加，求出a_k＞（k-1）²，再利用放縮法，裂項求和，即可得出結論．

解答： 解：（I）由已知得f′（x）=a+lnx+1，故f′（e）=3，∴a+lne+1=3，
∴a=1；
（II）由（I）知，f（x）=x+xlnx，
∴f（x）＞kx-k對任意x＞1恒成立，即k＜

x+xlnx

x-1

對任意x＞1恒成立．
令g（x）=

x+xlnx

x-1

，則g′（x）=

x-lnx-2

(x-1)2

，
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），
則h′（x）=

x-1

x

＞0，
∴函數h（x）在（1，+∞）上單調增加，
∵h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上在唯一實數根x₀，滿足x₀∈（3，4），且h（x₀）=0
當x∈（1，x₀）時，h（x）＜0，∴g′（x）＜0；當x∈（x₀，+∞）時，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，
∴函數g（x）=

x+xlnx

x-1

在（1，x₀）上單調遞減，在（x₀，+∞）上單調遞增．
∴[g（x）]_min=g（x₀）=

x0(1+x0-2)

x0-1

=x₀∈（3，4），
∴k＜[g（x）]_min=x₀∈（3，4），
故整數k的最大值是3．
（III）由（II）知xlnx＞2x-3（x＞1），取x=k（k≥2，k∈N^*），則有
2ln2＞2•2-3，3ln3•3-3，…，klnk＞2k-3，
將上面各式相加得2ln2+3ln3+…+klnk＞2（2+3+…+k）-3（k-1）=（k-1）²，
即a_k＞（k-1）²，
故

1

ak

＜

1

(k-1)2

＜

1

(k-1)(k-2)

=

1

k-2

-

1

k-1

（k≥3），
∴

n

k=3

1

ak

＜1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-2

-

1

n-1

=1-

1

n-1

＜1．

點評：本題考查學生會利用導數求切線上過某點切線方程的斜率，會利用導函數的正負確定函數的單調區間，會利用導數研究函數的極值，掌握導數在最大值、最小值問題中的應用，屬于中檔題．