Question

設a是實數，函數f（x）=ax²+（a+1）x-2lnx．
（1）當a=1時，求函數f（x）的單調區間；
（2）當a=2時，過原點O作曲線y=f（x）的切線，求切點的橫坐標；
（3）設定義在D上的函數y=g（x）在點P（x₀，y₀）處的切線方程為l：y=h（x），當x≠x₀時，若

g(x)-h(x)

x-x0

＜0在D內恒成立，則稱點P為函數y=g（x）的“巧點”．當a=-

1

4

時，試問函數y=f（x）是否存在“巧點”？若存在，請求出“巧點”的橫坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）求導數，利用導數的正負，可得函數f（x）的單調區間；
（2）設切點，可得切線的斜率k=4m+3-

2

m

，利用直線OM的斜率為

2m2+3m-2lnm

m

，建立方程，即可求切點的橫坐標；
（3）分類討論，根據“巧點”的定義結合函數的單調性，即可得出結論．

解答： 解：（1）當a=1時，f′（x）=

2(x2+x-1)

x

（x＞0），…（1分）
由f′（x）＞0得：x＞

-1+ 5

2

；由f′（x）＜0得：0＜x＜

-1+ 5

2

．                 …（2分）
所以，f（x）的單調增區間為（

-1+ 5

2

，+∞），單調減區間為（0，

-1+ 5

2

）．        …（3分）
（2）當a=2時，設切點為M （m，n）．
f′（x）=4x+3-

2

x

（ x＞0），所以，切線的斜率k=4m+3-

2

m

．
又直線OM的斜率為

2m2+3m-2lnm

m

，…（5分）
所以，4m+3-

2

m

=

2m2+3m-2lnm

m

，即m²+lnm-1=0，
又函數y=m²+lnm-1在（0，+∞）上遞增，且m=1是一根，所以是唯一根，
所以，切點橫坐標為1．                                                  …（7分）
（3）a=-

1

4

時，由函數y=f（x）在其圖象上一點P（x₀，y₀）處的切線方程為：
y=（-

1

2

x₀+

3

4

-

2

x0

）（x-x₀）-

1

4

x₀²+

3

4

x₀-2ln x₀．                               …（8分）
令h（x）=（-

1

2

x₀+

3

4

-

2

x0

）（x-x₀）-

1

4

x₀²+

3

4

x₀-2ln x₀，
設F（x）=f（x）-h（x），則F（x₀）=0．
且F′（x）=f′（x）-h′（x）=-

1

2

x+

3

4

-

2

x

-（-

1

2

x₀+

3

4

-

2

x0

）
=-

1

2

（x-x₀）-（

2

x

-

2

x0

）=-

1

2x

（x-x₀） （x-

4

x0

）                        …（10分）
當0＜x₀＜2時，

4

x0

＞x₀，F（x）在（x₀，

4

x0

）上單調遞增，從而有F（x）＞F（x₀）=0，所以，

F(x)

x-x0

＞0；
當x₀＞2時，

4

x0

＜x₀，F（x）在（

4

x0

，x₀）上單調遞增，從而有F（x）＜F（x₀）=0，所以，

F(x)

x-x0

＞0．
因此，y=f（x）在（0，2）和（2，+∞）上不存在“巧點”．                         …（13分）
當x₀=2時，F′（x）=-

(x-2)2

2x

≤0，所以函數F（x）在（0，+∞）上單調遞減．
所以，x＞2時，F（x）＜F（2）=0，

F(x)

x-2

＜0；0＜x＜2時，F（x）＞F（2）=0，

F(x)

x-2

＜0．
因此，點（2，f（2））為“巧點”，其橫坐標為2．                               …（16分）

點評：正確理解導數的幾何意義、“巧點”的意義及熟練掌握利用導數研究函數的單調性是解題的關鍵．