Question

有三種卡片分別寫有數字1，10和100．設m為正整數，從上述三種卡片中選取若干張，使得這些卡片上的數字之和為m．考慮不同的選法種數，例如當m=11時，有如下兩種選法：“一張卡片寫有1，另一張卡片寫有10”或“11張寫有1的卡片”，則選法種數為2．
（1）若m=100，直接寫出選法種數；
（2）設n為正整數，記所選卡片的數字和為100n的選法種數為a_n．當n≥2時，求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數列的應用,數列遞推式

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）分類討論，只取數字1或10或100時；取1和10，由此可得結論；
（2）考慮當數字和為200時，選法種數，可得數字總和為100n對應的選法種數為a_n，數字總和為100（n+1）對應的選法種數為a_n+1，滿足a_n=10n+1+a_n-1，從而可得數列通項，

解答： 解：（1）分類討論，只取數字1或10或100時，共3種；取1和10，可分為1個10，2個10，…9個10，共9種
∴相應的選法種數為3+9=12種；                       …（3分）
（2）若至少選一張寫有100的卡片時，則除去1張寫有100的卡片，其余數字之和為100（n-1），
有a_n-1種選法；若不選含有100的卡片，則有10n+1種選法．
所以，a_n=10n+1+a_n-1，…（8分）
從而，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=10n+1+10（n-1）+1+…+10×2+1+a₁
=10

(n+2)(n-1)

2

+n-1+a₁
=5n²+6n+1
所以，{a_n}的通項公式是a_n=5n²+6n+1．                                  …（10分）

點評：本題考查數列的應用，考查分類討論的數學思想，正確分類是關鍵．