Question

已知函數f（x）=ax-e^x（a∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）設g（x）=x²-2x+1，證明：當1＜a＜e時，對任意x₁∈（-∞，+∞），總存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂）成立．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究函數的單調性

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導數，分類討論，利用導數的正負，可求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）由已知，轉化為f（x）_max＜g（x）_max，求最值可證．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=a-e^x，
當a≤0時，f'（x）＜0，所以，f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減，
當a＞0時，由f'（x）=0，得x=lna．
在區間（-∞，lna）上，f'（x）＞0，在區間（lna，+∞）上f'（x）＜0
所以，函數f（x）的單調遞增區為（-∞，lna），單調遞減區間為（lna，+∞）
所以，當a≤0時，f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減，
當a＞0時，函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，lna），單調遞減區間為（lna，+∞）
（Ⅱ）證明：由已知，轉化為f（x）_max＜g（x）_max，由已知可知g（x）_max=g（0）=1，
當1＜a＜e時，f（x）在（-∞，lna）上單調遞增，在（lna，+∞）上單調遞減，
故f（x）的極大值即為最大值，f（lna）=alna-a，
而1＜a＜e，故f（lna）=alna-a=a（lna-1）＜0，
所以1＞alna-a，故命題成立．

點評：本題考查導數知識的綜合運用，考查函數的單調性與最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．