Question

已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，且截拋物線的準線所得弦長為，傾斜角為的直線過點.
（Ⅰ）求該橢圓的方程；
（Ⅱ）設橢圓的另一個焦點為，問拋物線上是否存在一點，使得與關于直線對稱，若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）拋物線的焦點為，準線方程為，……1分
∴      ①                 …………………2分
又橢圓截拋物線的準線所得弦長為， 
∴ 得上交點為，∴    ② ……………3分
由①代入②得，解得或（舍去），
從而                          ……………5分
∴  該橢圓的方程為                   …………6分
（2）∵ 傾斜角為的直線過點，
∴ 直線的方程為，即，  …………7分
由（1）知橢圓的另一個焦點為，設與關于直線對稱，                             …………8分
則得  解得，即 ……10分  
又滿足，故點在拋物線上。     ……………11分
所以拋物線上存在一點，
使得與關于直線對稱。

略