Question

如圖，已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，過頂點A、B的直線與原點的距離為．

（1）求橢圓的方程．
（2）已知定點E（-1，0），若直線y＝kx＋2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點．問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點?請說明理由．

Answer 1

（1）B（0，-b）和A（a，0）直線AB方程為：bx-ay-ab＝0．
依題意　解得　     
∴　橢圓方程為． --- 5分
（2）假若存在這樣的k值，由得．
　∴　�、僭O，、，，
則②
　而．
要使以CD為直徑的圓過點E（-1，0），當且僅當CE⊥DE時，則，即  ∴�、�
將②式代入③整理解得．        --------------------------11分
經驗證，，使①成立．    
綜上可知，存在，使得以CD為直徑的圓過點E．

略