Question

若存在過點(diǎn)(1,0)的直線與曲線y=x³和y=ax²+x-9都相切,則a等于(　　)

A．-1或-	B．-1或
C．-或-	D．-或7

Answer 1

A

【思路點(diǎn)撥】先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程,最后由點(diǎn)(1,0)在切線上求出切點(diǎn)后再求a的值.
解:設(shè)過點(diǎn)(1,0)的直線與曲線y=x³相切于點(diǎn)(x₀,),所以切線方程為y-=3(x-x₀),
即y=3x-2.
又(1,0)在切線上,則x₀=0或x₀=,
當(dāng)x₀=0時(shí),由y=0與y=ax²+x-9相切可得Δ=()²-4a(-9)=0,
解得a=-,
同理,當(dāng)x₀=時(shí),由y=x-與y=ax²+x-9相切可得a=-1,所以選A.
【方法技巧】導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用
導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點(diǎn)處切線的斜率,應(yīng)用時(shí)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:
(1)已知切點(diǎn)A(x₀,f(x₀))求斜率k,即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值:k=f'(x₀).
(2)已知斜率k,求切點(diǎn)A(x₁,f(x₁)),即解方程f'(x₁)=k.
(3)已知過某點(diǎn)M(x₁,f(x₁))(不是切點(diǎn))的切線斜率為k時(shí),常需設(shè)出切點(diǎn)A(x₀,f(x₀)),利用k=求解.