Question

設f(x)＝＋xln x，g(x)＝x³－x²－3.
(1)如果存在x₁，x₂∈[0,2]使得g(x₁)－g(x₂)≥M成立，求滿足上述條件的最大整數M；
(2)如果對于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

(1)4    (2) [1，＋∞)

解：(1)存在x₁，x₂∈[0,2]使得g(x₁)－g(x₂)≥M成立，等價于[g(x₁)－g(x₂)]_max≥M.
∵g(x)＝x³－x²－3，
∴g′(x)＝3x²－2x＝3x.
g(x)，g′(x)隨x變化的情況如下表：

x	0				2
g′(x)	0	－	0	＋
g(x)	－3	?	極小值－	?	1

由上表可知，g(x)_min＝g＝－，g(x)_max＝g(2)＝1.
[g(x₁)－g(x₂)]_max＝g(x)_max－g(x)_min＝，所以滿足條件的最大整數M＝4.
(2)對于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，
等價于在區間上，函數f(x)_min≥g(x)_max.
由(1)可知，在區間上，g(x)的最大值g(2)＝1.
在區間上，f(x)＝＋xln x≥1恒成立．
等價于a≥x－x²ln x恒成立，
記h(x)＝x－x²ln x，
則h′(x)＝1－2xln x－x，h′(1)＝0.
當1<x<2時，h′(x)<0；當<x<1時，h′(x)>0，
即函數h(x)＝x－x²ln x在區間上單調遞增，在區間(1,2)上單調遞減，所以h(x)_max＝h(1)＝1，即實數a的取值范圍是[1，＋∞)．