Question

如圖，在正三棱柱ABCDEF中，AB＝2，AD＝1.P是CF的延長線上一點，FP＝t.過A、B、P三點的平面交FD于M，交FE于N.

(1)求證：MN∥平面CDE；
(2)當平面PAB⊥平面CDE時，求t的值．

Answer 1

（1）見解析（2）t＝2

(1)證明：因為AB∥DE，AB在平面FDE外，所以AB∥平面FDE.又MN是平面PAB與平面FDE的交線，所以AB∥MN，故MN∥DE.因為MN∥平面CDE，DE平面CDE，所以MN∥平面CDE.
(2)解：取AB中點G、DE中點H，連結GH，則由GH∥PC知P、C、G、H在同一平面上，并且由PA＝PB知PG⊥AB.而與(1)同理可證AB平行于平面PAB與平面CDE的交線，因此，PG也垂直于該交線．又平面PAB⊥平面CDE，所以PG⊥平面CDE，所以PG⊥CH，于是△CGH∽△PCG，所以，即，解得t＝2.