Question

如圖,在四面體PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,點D,E,F,G分別是棱AP,AC,BC,PB的中點.

(1)求證:DE∥平面BCP.
(2)求證:四邊形DEFG為矩形.
(3)是否存在點Q,到四面體PABC六條棱的中點的距離相等?說明理由.

Answer 1

（1）見解析  （2）見解析 （3）存在，理由見解析

證明:(1)因為D,E分別為AP,AC的中點,
所以DE∥PC.
又因為DE?平面BCP,所以DE∥平面BCP .

(2)因為D,E,F,G分別為AP,AC,BC,PB的中點,
所以DE∥PC∥FG,
DG∥AB∥EF,
所以四邊形DEFG為平行四邊形.
又因為PC⊥AB,所以DE⊥DG,
所以四邊形DEFG為矩形.
(3)解:存在點Q滿足條件,理由如下:
連接DF,EG,設Q為EG的中點.
由(2)知,DF∩EG=Q,且QD=QE=QF=QG=EG.
分別取PC,AB的中點M,N,連接ME,EN,NG,MG,MN.
與(2)同理,可證四邊形MENG為矩形,其對角線交點為EG的中點Q,
且QM=QN=EG,
所以Q為滿足條件的點.