Question

P為△ABC所在平面外一點，O為P在平面ABC內的射影．
(1)若P到△ABC三邊距離相等，且O在△ABC的內部，則O是△ABC的________心；
(2)若PA⊥BC，PB⊥AC，則O是△ABC的________心；
(3)若PA，PB，PC與底面所成的角相等，則O是△ABC的________心．

Answer 1

(1)內(2)垂(3)外

(1)P到△ABC三邊距離相等，且O在△ABC的內部，可知O到△ABC三邊距離相等，即O是△ABC的內心；(2)由PO⊥平面ABC且BC平面ABC，得PO⊥BC，又PA⊥BC，PO與PA是平面POA內兩條相交直線，所以BC⊥平面POA，從而BC⊥AO.同理AC⊥BO，所以O是△ABC的垂心；由PA、PB、PC與底面所成的角相等，易得Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，從而OA＝OB＝OC，所以O是△ABC的外心．