Question

如圖所示,已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內,M,N分別為AB,DF的中點.

(1)若CD=2,平面ABCD⊥平面DCEF,求MN的長;
(2)用反證法證明:直線ME與BN是兩條異面直線.

Answer 1

（1）  （2）見解析

(1)解:取CD的中點G,
連結MG,NG.

因為四邊形ABCD,DCEF為正方形,
且邊長為2,
所以MG⊥CD,MG=2,NG=.
因為平面ABCD⊥平面DCEF,
所以MG⊥平面DCEF.可得MG⊥NG.
所以MN==.
(2)證明:假設直線ME與BN共面,
則AB?平面MBEN,且平面MBEN與平面DCEF交于EN.
由題意知兩正方形不共面,故AB?平面DCEF.
又AB∥CD,所以AB∥平面DCEF,
而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線,
所以AB∥EN.
又AB∥CD∥EF,所以EN∥EF,
這與EN∩EF=E矛盾,故假設不成立.
所以ME與BN不共面,它們是異面直線.